ANOVA

ANOVA (ANALISIS VARIAN)


Analisis varians (analysis of variance, ANOVA) adalah suatu metode analisis statistika yang termasuk ke dalam cabang statistika inferensi. Dalam literatur Indonesia metode ini dikenal dengan berbagai nama lain, seperti analisis ragam, sidik ragam, dan analisis variansi. Ia merupakan pengembangan dari masalah Behrens-Fisher, sehingga uji-F juga dipakai dalam pengambilan keputusan. Analisis varians pertama kali diperkenalkan oleh Sir Ronald Fisher, bapak statistika modern. Dalam praktek, analisis varians dapat merupakan uji hipotesis (lebih sering dipakai) maupun pendugaan (estimation, khususnya di bidang genetika terapan).

Secara umum, analisis varians menguji dua varians (atau ragam) berdasarkan hipotesis nol bahwa kedua varians itu sama. Varians pertama adalah varians antarcontoh (among samples) dan varians kedua adalah varians di dalam masing-masing contoh (within samples). Dengan ide semacam ini, analisis varians dengan dua contoh akan memberikan hasil yang sama dengan uji-t untuk dua rerata (mean).

Analisis varians relatif mudah dimodifikasi dan dapat dikembangkan untuk berbagai bentuk percobaan yang lebih rumit. Selain itu, analisis ini juga masih memiliki keterkaitan dengan analisis regresi. Akibatnya, penggunaannya sangat luas di berbagai bidang, mulai dari eksperimen laboratorium hingga eksperimen periklanan, psikologi, dan kemasyarakatan

Ada tiga kelas konseptual model seperti: 
• Model efek tetap berasumsi bahwa data berasal dari populasi normal yang mungkin berbeda hanya dalam kemampuan mereka. (Model 1) 
• Model efek acak berasumsi bahwa data yang menggambarkan hierarki populasi yang berbeda yang perbedaan dibatasi oleh hirarki. (Model 2) 
• Model efek campuran menggambarkan situasi di mana baik tetap dan efek acak hadir. (Model 3) 

Sesuai dengan kebutuhannya Anova dibedakan menjadi 2 yaitu Anova satu arah dan Anova dua arah. Anova satu arah hanya memperhitungkan 1 faktor yang menimbulkan variasi, sedangkan Anova dua arah memperhitungkan dua faktor yang menimbulkan variasi.

Pada dasarnya pola sampel dapat dikelompokan menjadi dua kelompok, yaitu:
1. Seluruh sampel, baik yang berada pada kelompok pertama sampai dengan yang ada di kelompok lain, berasal dari populasiyang sama. Untuk kondisi ini hipotesis nol terbatas pada tidak ada efek dari treatment (perlakuan) 
2. Sampel yang ada di kelompok satu berasal dari populasi yang bebeda dengan populasi sampel dengan populasi sampel yang ada di kelompok lainnya.

Mengingat Anova berkaitan dengan pengujian hipotesis multipel (ganda). Pada saat melakukan pengujian hipotesis (perbedaan dua rata-rata) dengan menggunakan t tes selalu menanggung kesalahan tipe 1 sebesar alpha. Untuk ANOVA kesalahan tipe 1 disebut dengan experiment wise alpha level yang besarnya:
1-(1-α)N
N Merupakan banyaknya tes jika menggunakan t tes (dilakukan satu per satu)

Misalnya: Untuk pengujian perbedaan rata-rata dari 5 kelompok sampel. Jika dimbil alpha sebesar 0,005 maka dengan penggunaan t tes besarnya resiko kesalahan tipe 1 untuk sekali pengujian adalah 0,05 dan untuk 10 kali pengujian berarti menanggung kesalahan tipe 1 sebesar 0,5. Apabila kita menggunakan ANOVA kesalahan tipe 1 yang harus ditanggung adalah :
1-(1-0,05)10 = 0,40
Mengapa N berjumlah 10 untuk 5 kelompok sampel? Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah kita telusuri satu per satu pengujian yang dilakukan dengan t tes.
μ1 = μ2
μ1 = μ3
μ1 = μ4
μ1 = μ5
μ2 = μ3
μ2 = μ4
μ2 = μ5
μ3 = μ4
μ3 = μ5
μ4 = μ5
  Melalui perbandingan sederhana adalah teknik analisis statistik yang dapat memberi jawaban atas ada tidaknya perbedaan skor pada masing-masing kelompok (khususnya untuk kelompok yang banyak), dengan suatu risiko kesalahan yang sekecil mungkin. Anova mempunyai kemampuan membedakan antar banyak kelompok dengan risiko kesalahan yang kecil, juga dapat memberi informasi tentang ada tidaknya interaksi antar variabel bebas sehubungan dengan variabel terikat.
  Pada dasarnya ANOVA dapat dibagi menjadi 2 kelompok besar, yaitu:
1. Beberapa kelompok yang dihadapi merupakan pembagian dari satu independen varibel (variabel bebas)
2. Beberapa kelompok yang dihadapi merupakan pembagian dari beberapa independen varibel (variabel bebas)


Asumsi Dasar dalam ANOVA :
1. Kenormalan
Setiap harga dalam sampel berasal dari distribusi normal, sehingga distribusi skor sampel dalam kelompok pun hendaknya normal. Kenormalan dapat diatasi dengan memperbanyak sampel dalam kelompok, karena semakin banyak n maka distribusi akan mendekati normal. Apabila sampel tiap kelompok kecil dan tidak dapat pula diatasi dengan jaln melakukan transformasi.


2. Kesamaan Variansi
Masing-masing kelompok hendaknya berasal dari populasi yang mempunyai variansi yang sama. Untuk sampel yang sama pada setiap kelompok, kesamaan variansi dapat diabaikan. Tetapi, jika banyaknya sampel pada masing-masimg kelompok tidak sama, maka kesamaan variansi populasi memang sangat diperlukan.
3. Penamatan Bebas
Sampel hendaknya diambil secara acak (random), sehingga setiap pengamatan merupakan informasi yang bebas.


PERBANDINGAN ANOVA SATU ARAH DENGAN ANOVA DUA ARAH
 
Sebenarnya analisis ANOVA satu arah dapat dipakai untuk menghadapi kasus variabel bebas lebih dari satu. Hanya saja analisisnya dilakukan satu per satu, sehingga akan menghadapi banyak kasus ( N semakin banyak ).
Dengan melakukan Anova dua arah akan dihindari pula pula terjadinya noise (suatu kemungkinan yantg menyatakan terdapat suatu efek karena bercampurnya suatu analisis data). Noise ini dapat dihindari pada ANOVA dua arah karena analis disini melibatkan kontor terhadap perbedaan(katagorikal) variabel bebas.
Interaksi suatu kebersamaanantar fektor dalam mempengaruhi variabel bebas, dengan sendirinyapengaruh faktor-faktor secara mandiri telah dihilangkan. Jika terdapat interaksi berarti efek faktor satu terhadap variabel terikatakan mempunyai garis yang tidak sejajar dengan efek faktor lain terhadap variabel terikatsejajar (saling berpotongan), maka antara faktor tidak mempunyai interaksi.
Anova dua arah digunakan peneliti untuk mengatasi perbedaan nilai variabel terikat yang dikategorikan berdasarkan variasi bebas yang banyak dan masing-masing variabel terdiri dari beberapa kelompok. Anova dua arah merupakan penyempurnaan Anova satu arah.
 Anova dua arah lebih efisien daripada anova satu arah, karena:
• kasus yang dihadapi lebih sedikit yaitu sejumlah sampel .
• noise dapat dihilangkan.
• dapat diketahui unsur kebersamaan variabel bebas dalam mempengaruhi variabel terikat. 

ANOVA SATU ARAH
Contoh :
Untuk homogenitas varians. Langkah-langkah tersebut adalah sebagai berikut : 
1. Merumuskan hipotesis
2. Menguji homogenitas tiga varians atau lebih 
3. Analisi of Varians (ANOVA)
4. Menguji hipotesis

Contoh : 
Seorang dosen bahasa Indonesia hendak melakukan penelitian berkenaan dengan efektifitas empat macam tekhnik membaca yang bisa dipergunakan mahasiswanya. Untuk keperluan itu, dipilih masing-masing di pilih 10 mahasiswa untuk menerapkan teknik membaca tersebut. Dari penelitian tersebut, data skor kecepatan efektif membaca (KEM) tertera pada tabel berikut ini. 

Teknik membaca
A B C D
90 70 40 50
80 50 60 30
70 60 50 60
50 70 50 40
60 50 70 50
80 70 60 40
80 70 60 50
70 80 60 60
90 60 40 40
80 70 60 30

1. Merumuskan Hipotesis 
Ho menyatakan tidak ada perbedaan di anatara rata-rata beberapa populasi yaitu Ho: µ1 = µ2 = µ3 = ...
H1 menyatakan satu atau lebih rata-rata populasi tidak sama dengan rata-rata populasinya yaitu:
H1 : µ1 ≠ µ2 = µ3 = ... = µn atau
H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3 ≠ ... ≠ µn atau 
 H1 : µ1 = µ2 = µ3 ≠ ... ≠ µn atau
 H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3 ≠ ... ≠ µn atau
Pada contoh di atas, hipotesisnya dirumuskan : 
H1 : efektivitas keempat teknik membaca tersebut tidak berbeda satu sama lain.
H1 : efektivitas keempat teknik membaca tersebut tidak berbeda satu sama lain (paling sedikit anatar dua teknik membaca) 
Atau : Ho : µA = µB = µC = µD
Ho : µA ≠ µB ≠ µC ≠ µD

2. Menguji Homogenitas varians
Jika hasilnya menunjukan varians-var4ians yang homogen, dilajutkan pada perhitungan ANOVA. Jika homogen, perbedaan atau kesamaan rata-rata keempat variabel etrsebut diuji sepasang demi sepasang dengan uji T’ yaitu pasanga AB, AQC, AD, BC, BD, dan CD ( ada enam pasangan). 
3. Apabila ketahui hasil perhitungan memperlihatkan varians-varians yang homogen, dilanjutkan dengan menguji ANOVA satu jalur.

a) tabel persiapan harga-harga N, ∑X, ∑X2dan X

STATISTIK A B C D Total (T)
N 70 10 10 10 ∑NT= 40
∑X 750 650 550 450 ∑XT= 2400
∑X2 57700 43100 31100 21300 ∑X2T = 153200
X 75 65 55 45 


b) Tabel Ringkasan ANOVA Satu Jalur

Sumber Varians (SV) Jumlah Kuadrat (JK) Derajat Kebebasan (DK) Renta Kuadrat (RK) F
Antar Kolom(a) Jka dba RKa RKa
Residu (d) JKd dbd RKd RKd
Total (T) JKT  

  JKT = ∑X2 r – (∑XT)2; Nt: banyaknya sebuh data
  NT
  maka JKT = 153200 – 2400 2 = 9200
  40
  JKd = JKT - JKA
JKd= 9200-5000=4200
  RKd = JKd maka Rkd = 4200/36 = 116,7
  dbd
  Rka = Jka/dbd maka Rka = 5000/3= 1666,7
  menghitung F 
F = JKd\ RKd maka F = 1666,7/16,7 = 14,28
Maka Fhitung = 14,28

c) Menentukan F tabel
F tabel = F(@) (dba/dbd)
Untuk = 0,05 dan @= 0,01
Dba= derajat kebebasan pembilang = 3
Dbd= derajat kebebasan penyebut = 36
Maka F tabel = F (0,05) (3/36) = 2.8
F tabel = F (0,05) (3/36) = 4.38
d) Menguji hipotesis
Kriteria pengujian: 
Jika Fhitung > F tabel, Ho di tolak danjika Fhitung

ANOVA DUA ARAH

 Anova dua jalur mempertimbangkan 2 faktor yang mengakibatkan terjadinya penyimpangan (dispersi) dan nilai-nilai yang dihitung dengan standar deviasi atau varians. Apabila para peneliti inign menguji efektivitas keberdaaan dua buah factor, yang masing-masing faktornya terbagi atas beberapa kategori, peneliti dapat menggunakan 

Contoh :
Seorang guru matematika ingin mengetahui efektivitas pemberian latihan soal dengan menggunakan perangkat dan buku paket terhadap dua kelompok siswa, yaitu dengan pengujian efektivitasnya berdasarkan hasil/skor latihan yang telah dibuat untuk siswa. Untuk kepentingan penelitiannya guru mengambil/memilih masing-masing 10 pandai untuk diberi dua perlakuan yang berbeda dan 10 siswa yang kurang pandai untuk keperluan berbeda pula 
Hasil penelitiannya ditunjukkan oleh data berikut ini:

LKS Buku Paket 
Siswa Pandai Siswa Lemah Siswa Pandai Siswa Lemah 
Nama Skor Nama Skor Nama Skor Nama Skor
A1 82 B1 45 C1 63 D1 40
A2 82 B2 50 C2 63 D2 50
A3 73 B3 60 C3 63 D3 60
A4 73 B4 50 C4 55 D4 50
A5 82 B5 45 C5 65 D5 42
A6 60 B6 50 C6 73 D6 53
A7 60 B7 45 C7 55 D7 43
A8 73 B8 60 C8 55 D8 62
A9 85 B9 45 C9 65 D9 35
A10 75 B10 60 C10 55 D10 50

Mengetes Homogenitas Dua Varians 


Homogenitas LKS dan Buku Paket 
1. Varians semua skor LKS = 14.242= 203.04 
Varians semua skor Buku Paket = 9,752 = 95.08

F=203.04=2.14 Jadi, Fhitung = 2.14
  95.08
2. Menentukan derajat kebebasan:
 db = n -1 dbLKS = 20-1 =19 = db1
 dbBuku Paket = 20 -1= 19 = db2
3. Menentukan Ftabel
Ftabel = F(a)(db1)(db2) = F(0.01)(19/19)=
Dengan interpolasi 
F(0.01)(16/19) = 3.12 )
  ( F(0.01)(19/19) = 3.12-3 ( 0.12) = 3.03
F(0.01)(20/19) = 3.00 ) 4

Jadi Ftabel = 3.03
4. Kriteria Homogenitas 
Karena Fhitung > Ftabel, varians perlakuan LKS dan Buku Paket Homogen.

Homogenitas Skor Siswa Pandai dan Lemah 
1. Varians semua skor siswa pandai = 10.052 = 101.19
2. Varians semua skor siswa lemah = 7.572 = 57.36
Dengan cara seperti di atas diketahui Fhitung < Ftabel maka kedua varians juga homogen.

Homogenitas pasangan LKS – Siswa Pandai, LKS-Siswa Lemah, Buku Paket- Siswa Pandai, Buku Paket- Siswa Lemah.

LKS – Siswa Pandai : 82, 82, 73, 73, 82, 60, 60, 73, 85 , 75 (1)
LKS – Siswa Lemah : 45, 50 , 60, 50, 45, 50, 45, 60, 45, 60 (2)
B. Paket – Siswa Pandai : 63, 63, 63, 55, 65, 73, 55, 55, 65, 55 (3) 
B. Paket – Siswa Lemah : 40, 50, 60, 50, 42, 53, 43, 62, 35, 50 (4)

1. Varians –varians: 
V1 = 78.5
V2 = 43.3
V3 = 36.8
V4 = 74.3

2. Varians Gabungan :

Vgab = (9x78.5) + (9x43.3) + ( 9x36.8) + ( 9x74.3)
  9+9+9+9

Selanjutnya dengan menggunakan Uji Kai Kuadrat disimpulkan bahwa keempat varians di atas adalah homogen ( lihat perhitungan yang lengkap pada analisis Kai Kuadrat